TUGAS NAVI BAB 5

TUGAS KULIAH BAB V

MOMEN KEMIRINGAN DAN KURTOSIS

1. Momen

             Misal diketahui variabel  X dengan harga X1, X2, X3 . . . .   Xn. Jika A sebuah bilangan tetap dan r = 0, 1, 2, 3,      maka momen di sekitar A disingkat m’rdidefinisikan oleh

Dengan

n = , Xi = tanda kelas interval dan fi = frekuensi yang sesuai dengan Xi.

Dengan menggunakan cara coding, rumusnya:

m’_r = , P = Panjang kelas, C = Variabel koding.

Dari m’_r harga-harga m_r dapat ditentukan berdasarkan hubungan:

m₂ = m₂’ – (m₁’)²

m₃ = m₃’ – 3m₁’ + m₂ + 2(m₁’)³

m₄ = m₄’ – 4m₁’ + 6 (m₁’) m₂ – 3 (m₁’)

Untuk menghitung momen disekitar rata-rata, untuk data dalam daftar distribusi frekuensi, kita lakukan sebagai berikut:

TABLE  5.1: Table pembantu untuk mencari m

Data	f1	Ci	f1Ci	f1C12	f1C13	f1C14
60 – 63 64 – 67 68 – 71 72 – 75 76 – 70	5 18 42 27 8	-2 -1 0 1 2	-10 -18 0 27 16	20 18 0 37 42	-40 -18 0 27 64	80 18 0 27 128
Jumlah	100		15	97	35	253

Dapat dihitung:

Sehingga dengan menggunakan hubungan di atas:

m₂ = m₂’ – (m₁’)² = 15,52 – 0,36 = 15,16

m₃ = m₃’ – 3m₁’ m₂’ + 2(m₁’)³ = 5,28 – 3x0,6x15,52 +2x (0,6) = 21,456

m₄ = m₄’ – 4m₁’ m₃’ + 6 (m₁’)² (m₂’)...........

=  40,48 – 4x0,6 x 5,28 + 6 x 0,6        ²x15,52 – 3x0,4²

= 60,9424

Jadi Varian S² = m₂ = 15,16

B.KEMIRINGAN

Kurva distribusi normal, yang tidak terlalu rucing atau tidak terlalu datar. Dinamakanmesokurtik,

kurva yang runcing dinamakan leptokurtik sedangkan yang datar disebut platikurtik.

Salah satu ukuran kurtosis ialah koefisien kurtosis, diberi simbol a₄, ditentukan denganrumus a₄ = (m₄/m)

Kriteria yang didapat dari rumus ini ialah:

a) a₄ = 3    à        Distribusi normal

b) a₄ > 3    à        Distribusi yagn leptokurtik

c) a₄ < 3     à        Distribusi yang platikurtik

Untuk mengetahui apakah distribusi normal atau tidak sering pula dipakai koefisien kurtosis persentil, diberi simbul:

κ = 

SK = rentang semi antar kuartil

K3 = kuartik ketiga

K1 = kuartil kedua

P10 = persentil kesepuluh

P90 = persentil ke 90

Untuk distribusi normal, harga κ  = 0,263

Untuk contoh di atas telah di dapat m₄ = 60,9424, sedangkan m = 15,17 sehingga besarnya koefisien kurtosis a₄ = (m₄/m) = 60,9424/229,8256 = 0,265, ini kurang dari 3, jadi kurvanya cenderung aman platikurtik.

Contoh: data nilai ujian Fisika dasar dari 80 mahasiswa, akan kita cari koefisien kurtosis persentil besarnya:

Dimana K1 dan K3 telah kita hitung; K1 = 81,676 dan K3 = 61,75, adapun datanya telah disusun dalam daftar sebagai berikut:

No	Nilai Ujian	Fi
1 2 3 4 5 6 7	31 – 40 41 – 50 51 – 60 61 – 70 71 – 80 81 – 90 91 – 100	3 5 10 16 24 17 5
	Jumlah	80

Dengan menggunakan rumus Pi = b + P dimana P = panjang kelas dapat dihitung P10 dan P90.

P10 akan terletak pada data ke , yaitu pada kelas interval ke 2 sehingga b = 40,5, P = 10; F = 3 f = 5

P10 = 40,5 + 10 = 50,5

P90 akan terletak pada data ke , yaitu pada kelas interval keenam, sehingga b = 80,5, P = 10, F = 8, f = 17

P90 = 80,5 + 10 = 81,32

TUGAS NAVI BAB 4

TUGAS STATISTIKA BAB 4

PENGUKURAN PENYIMPANGAN

Pengukuran penyimpangan adalah suatu ukuran yang menunjukkan tinggi  rendahnya perbedaan data yang diperoleh dari rata-ratanya. Ukuran penyimpangan digunakan untuk mengetahui luas penyimpangan data atau homogenitas data. Dua variabel data yang memiliki mean sama belum tentu memiliki kualitas yang sama, tergantung dari besar atau kecil ukuran penyebaran datanya. Ada bebarapa macam ukuran penyebaran data, namun yang umum digunakan adalah standar deviasi.

Macam-macam ukuran penyimpangan data adalah :

1. Jangkauan (range)
2. Simpangan rata-rata (mean deviation)
3. Simpangan baku (standard deviation)
4. Varians (variance)
5. Koefisien variasi (Coefficient of variation)

1. Jangkauan (range)

Range adalah salah satu ukuran statistik yang menunjukan jarak penyebaran data antara nilai terendah (Xmin) dengan nilai tertinggi (Xmax). Ukuran ini sudah digunakan pada pembahasan daftar distribusi frekuensi. Adapun rumusnya adalah

Contoh : 
Berikut ini nilai ujian semester dari 3 mahasiswa
A = 60 55 70 65 50 80 40
B = 50 55 60 65 70 65 55
C = 60 60 60 60 60 60 60
Dari data diatas dapat diketahui bahwa
A = memiliki Xmax=80, Xmin= 40 , R = 40 , meanya 60
B = memiliki Xmax=70, Xmin= 50 , R = 20 , meanya 60
C = memiliki Xmax=60, Xmin= 60 , R = 0 , meanya 60
Dari contoh di atas dapat disimpulkan bahwa :
a. Semakin kecil rangenya maka semakin homogen distribusinya
b. Semakin besar rangenya maka semakin heterogen distribusinya
c. Semakin kecil rangenya, maka meannya merupakan wakil yang representatif
d. Semakin besar rangenya maka meannya semakin kurang representatif
2. Simpangan Rata-rata (mean deviation)

Simpangan rata-rata merupakan penyimpangan nilai-nilai individu dari nilai rata-ratanya. Rata-rata bisa berupa mean atau median. Untuk data mentah simpangan rata-rata dari median cukup kecil sehingga simpangan ini dianggap paling sesuai untuk data mentah. Namun pada umumnya, simpangan rata-rata yang dihitung dari mean yang sering digunakan untuk nilai simpangan rata-rata.

• Data tunggal dengan seluruh skornya berfrekuensi satu

dimana xi merupakan nilai data

• Data tunggal sebagian atau seluluh skornya berfrekuensi lebih dari satu

dimana xi merupakan nilai data

• Data kelompok ( dalam distribusi frekuensi)

dimana xi merupakan tanda kelas dari interval ke-i dan fi merupakan frekuensi interval ke-i

Contoh :
Dari tabel diperoleh 


3. Simpangan Baku (standard deviation)

Standar deviasi merupakan ukuran penyebaran yang paling banyak digunakan. Semua gugus data dipertimbangkan sehingga lebih stabil dibandingkan dengan ukuran lainnya. Namun, apabila dalam gugus data tersebut terdapat nilai ekstrem, standar deviasi menjadi tidak sensitif lagi, sama halnya seperti mean.

Standar Deviasi memiliki beberapa karakteristik khusus lainnya. SD tidak berubah apabila setiap unsur pada gugus datanya di tambahkan atau dikurangkan dengan nilai konstan tertentu. SD berubah apabila setiap unsur pada gugus datanya dikali/dibagi dengan nilai konstan tertentu. Bila dikalikan dengan nilai konstan, standar deviasi yang dihasilkan akan setara dengan hasilkali dari nilai standar deviasi aktual dengan konstan.

Rumus Simpangan Baku untuk Data Tunggal

• untuk data sample menggunakan rumus

• untuk data populasi menggunkan rumus

Contoh :
Selama 10 kali ulangan semester ini sobat mendapat nilai 91, 79, 86, 80, 75, 100, 87, 93, 90,dan 88. Berapa simpangan baku dari nilai ulangan sobat?

Jawab
Soal di atas menanyakan simpangan baku dari data populasi jadi menggunakan rumus simpangan baku untuk populasi.
Kita cari dulu rata-ratanya
rata-rata = (91+79+86+80+75+100+87+93+90+88)/10 = 869/10 = 85,9

Kita masukkan ke rumus

Rumus Simpangan Baku Untuk Data Kelompok

• untuk sample menggunakan rumus

• untuk populasi menggunakan rumus

Contoh :Diketahui data tinggi badan 50 siswa samapta kelas c adalah sebagai berikut

hitunglah berapa simpangan bakunya
1. Kita cari dulu rata-rata data kelompok tersebut

2. Setelah ketemu rata-rata dari data kelompok tersebut kita bikin tabel untuk memasukkannya ke rumus simpangan baku

4. Varians (variance)

Varians adalah salah satu ukuran dispersi atau ukuran variasi.  Varians dapat menggambarkan bagaimana berpencarnya suatu data kuantitatif.  Varians diberi simbol  σ² (baca: sigma kuadrat) untuk populasi dan untuk s² sampel.

Selanjutnya kita akan menggunakan simbol s²  untuk varians karena umumnya kita hampir selalu berkutat dengan sampel dan jarang sekali berkecimpung dengan populasi.

Rumus varian atau ragam data tunggal untuk populasi

Rumus varian atau ragam data tunggal untuk sampel

Rumus varian atau ragam data kelompok untuk populasi

Rumus varian atau ragam data kelompok untuk sampel

Keterangan:
σ² = varians atau ragam untuk populasi
S² = varians atau ragam untuk sampel
f_i = Frekuensi
x_i = Titik tengah
x¯ = Rata-rata (mean) sampel dan   μ = rata-rata populasi
n =  Jumlah data

5. Koefisien variasi (Coefficient of variation)

Koefisien variasi merupakan suatu ukuran variansi yang dapat digunakan untuk membandingkan suatu distribusi data yang mempunyai satuan yang berbeda. Kalau kita membandingkan berbagai variansi atau dua variabel yang mempunyai satuan yang berbeda maka tidak dapat dilakukan dengan menghitung ukuran penyebaran yang sifatnya absolut.

Koefisien variasi adalah suatu perbandingan antara simpangan baku dengan nilai rata-rata dan dinyatakan dengan persentase.

Besarnya koefisien variasi akan berpengaruh terhadap kualitas sebaran data. Jadi jika koefisien variasi semakin kecil maka datanya semakin homogen dan jika koefisien korelasi semakin besar maka datanya semakin heterogen.

 

DAFTAR PUSTAKA

http://vebrianaparmita.wordpress.com/2013/10/06/bab-vi-pengukuran-penyimpangan-range-deviasi-varian

Sudjana. (1991). In Statistika. Bandung: Tarsito.
http://www.smartstat.info/statistika/statisika-deskriptif/ukuran-penyebaran-measures-of-dispersion.html
http://rumushitung.com/2013/04/05/rumus-simpangan-baku/
http://digensia.wordpress.com/2012/03/15/statistik-deskriptif/
http://okemath.com/?page_id=394

TUGA NAVI BAB 6

BAB VI DISTRIBUSI NORMAL,DISTRIBUSI F,DAN DISTRIBUSI T

 

 

DISTRIBUSI FREKUENSI adalah penyusunan suatu data mulai dari yang terkecil sampai terbesar yang membagi banyak data kedalam beberapa kelas.

Langkah-langkah Distribusi Frekuensi :

1. mengurutkan data terkecil-terbesar

2. menghitung rentang

R = Xmax-Xmin

3. menghitung jarak kelas

            JK = 1 + 3,3 log n

4. menghitung panjang kelas interval

            PI =

5. menghitung banyak kelas

            PI =

6. membuat tabel sementara

DISTRIBUSI FREKUENSI GRAFIK

-          Histogram ialah grafik yang menggambarkan suatu distribusi frequensi dengan bentuk beberapa segi empat.

-          Poligon ialah grafik garis yang menghubungkan nilai tiap sisi atas yang berdekatan dengan nilai tengah jarak frekuensi mutlak masing-masing.

-          Ogive ialah distribusi frequensi komulatif yang menggambarkan diagramnya dalam sumbu tegak dan mendatar atau eksponensial.

DISTRIBUSI NORMAL / DISTRIBUSI KURVA

Distribusi normal adalah distribusi probabilitas yang paling banyak digunakan dalam berbagai analisis statistika.

Distribusi Kurva adalah memegang peranan penting dalam statistik inferensial yaitu sebagai distribusi peluang.

Karakteristik Distribusi Normal :

-          Unimodal adalah distribusi yang selalu memiliki modus dan hanya memiliki satu modus.

-          Simetrik adalah setengah bagian dari distribusi itu sama dan sebangun dengan setengah bagian lainnya (seimbang).

-          Modus = Median = Mean

-          Asimtotik adalah kurva distribusi normal yang tidak akan menyentuh absisnya.

Z-SKOR adalah untuk melihat gambaran masing-masing skor yang dibandingkan dengan kelompok dan Menentukan skor baku dari setiap anggota populasi terhadap skor kelompok.

PROPORSI

Contoh

Dik : rata-rata 6, standar deviasi 2.

Dit : proporsi 8 keatas?

Jwb : Z = 8 – 6 = 1S                 P = 50% - 34,13% = 16%

                  2

Dik : rata-rata 9, standar deviasi 1, n=60

Dit : P dari skor 10 kebawah?

Jwb : Z = 10 – 9 = 1S               P = 100% - (13,6% + 2,13% + 0,14%)

                   2                              = 84%

         60% . 84 = 50 , yang mendapatkan skor 10 kebawah ada 50 orang.

 

2.   DISTRIBUSI T

Adalah pengujian hipotesis yang menggunakan distribusi T sebagai uji statsistik, table pengujiannya disebut table T student. Distribusi T pertama kali diterbitkan tahu 1908 dalam suatu makalah oleh W.S. Gosset. Hasil uji statistiknya kemudian dibandingkan dengan nilai yang ada pada tabel kemudian menerima atau menolak hipotesis nol (Ho) yang dikemukakan. Cirinya : sample yang di uji berukuran kurang dari 30

Tabel Nilai t

df		α
	0.05	0.025	0.01	0.005
1	6.314	12.706	31.821	63.657
2	2.920	4.303	6.965	9.925
3	2.353	3.182	4.541	5.841
4	2.132	2.776	3.747	4.604
5	2.015	2.571	3.365	4.032
6	1.943	2.447	3.143	3.707
7	1.895	2.365	2.998	3.499
8	1.860	2.306	2.896	3.355
9	1.833	2.262	2.821	3.250
10	1.812	2.228	2.764	3.169
11	1.796	2.201	2.718	3.106
12	1.782	2.179	2.681	3.055
13	1.771	2.160	2.650	3.012
14	1.761	2.145	2.624	2.977
15	1.753	2.131	2.602	2.947
16	1.746	2.120	2.583	2.921
17	1.740	2.110	2.567	2.898
18	1.734	2.101	2.552	2.878
19	1.729	2.093	2.539	2.861
20	1.725	2.086	2.528	2.845
21	1.721	2.080	2.518	2.831
22	1.717	2.074	2.508	2.819
23	1.714	2.069	2.500	2.807
24	1.711	2.064	2.492	2.797
25	1.708	2.060	2.485	2.787
26	1.706	2.056	2.479	2.779
27	1.703	2.052	2.473	2.771
28	1.701	2.048	2.467	2.763
29	1.699	2.045	2.462	2.756
30	1.697	2.042	2.457	2.750
40	1.684	2.021	2.423	2.704
50	1.676	2.009	2.403	2.678
100	1.660	1.984	2.364	2.626
10000	1.645	1.960	2.327	2.576

Uji t Tidak Berpasangan

Uji t dikembangkan oleh William Sealy Gosset. Dalam artikel publikasinya, ia menggunakan nama samaran Student, sehingga kemudian metode pengujiannya dikenal dengan uji t-student. William Sealy Gosset menganggap bahwa untuk sampel kecil, nilai Z dari distribusi normal tidak begitu cocok. Oleh karenanya, ia kemudian mengembangkan distribusi lain yang mirip dengan distribusi normal, yang dikenal dengan distribusi t-student. Distribusi student ini berlaku baik untuk sampel kecil maupun sampel besar. Pada n ≥ 30, distribusi t ini mendekati distribusi normal dan pada n yang sangat besar, misalnya n=10000, nilai distribusi t sama persis dengan nilai distribusi normal (lihat tabel t pada df 10000 dan bandingkan dengan nilai Z).

Pemakaian uji t ini bervariasi. Uji ini bisa digunakan untuk objek studi yang berpasangan dan juga bisa untuk objek studi yang tidak berpasangan. Berikut contoh penggunaan uji t.

Uji t tidak berpasangan

Contoh kasus :

Kita ingin menguji dua jenis pupuk nitrogen terhadap hasil padi

1. Hipotesis

Ho : 1 =₂

H_A : 1 ≠ ₂

2. Hasil penelitian tertera pada Tabel 1.

Tabel 1. Data hasil penelitian dua jenis pupuk nitrogen terhadap hasil padi (t/h)                          

Plot	Pupuk A  Y1	Pupuk B  Y2
1	7	8
2	6	6
3	5	7
4	6	8
5	5	6
6	4	6
7	4	7
8	6	7
9	6	8
10	7	7
11	6	6
12	5	7

3. Data analisis adalah sebagai berikut

Hitunglah

₁            = 5.58

_Y 2          = 6.92

S₁           = 0.996

S₂           = 0.793

t_hit        =( ₁ – ₂)/√(S₁²/n₁) +(S₂²/n₂)

=( 5.58 – 6.92)/√(0.996²/12)+(0.793²/12)

= -1.34/0.367522 = -3.67

Setelah itu, kita lihat nilai t table, sebagai nilai pembanding. Cara melihatnya adalah sebagai berikut. Pertama kita lihat kolom α = 0.025 pada Tabel 2. Nilai α ini berasal dari α 0.05 dibagi 2, karena hipotesis H_A kita adalah hipotesis 2 arah (lihat hipotesis). Kemudian, kita lihat baris ke 22. Nilai 22 ini adalah nilai df, yaitu n1+n2-2. Nilai n adalah jumlah ulangan, yaitu masing 12 ulangan. Akhirnya, kita peroleh nilai t_table = 2.074.

t _table = t _{α/2 (df)} = t_{0.05/2 (n1+n2-2)}=t_{0.025(12+12-2)} = t_0.025(22) = 2.074

4. Kriteria Pengambilan Kesimpulan

Terima H₀, jika t_hit| < t _table, sebaliknya

Tolak H₀, alias terima H_A, jika t_hit| > t _table

5. Kesimpulan

Karena nila t_hit|= 3.67 (tanda minus diabaikan) dan nilai t_table=2.074, maka kita tolak H₀, alias kita terima H_A. Dengan demikian, ₁ ≠ ₂, yaitu hasil padi yang dipupuk dengan pupuk A tidak sama dengan hasil padi yang dipupuk dengan pupuk B. Lebih lanjut, kita lihat bahwa rata-rata hasil padi yang dipupuk dengan pupuk B lebih tinggi daripada yang dipupuk dengan pupuk A. Dengan demikian, kita dapat menyimpulkan bahwa pupuk B nyata lebih baik daripada pupuk A untuk meningkatkan hasil pa